Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

\(=\frac{ab}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2b+a\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{bc}{6+b-a}\le\frac{1}{9}\left(2c+b\right);\frac{ca}{6+c-b}\le\frac{1}{9}\left(2a+c\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{9}\cdot3\left(a+b+c\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{6}{3}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(a+b+c=7\Rightarrow a+b+c-1=6\)

Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow49=23+2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca=13\)

Lại có \(ab+c-6=ab+c-\left(a+b+c-1\right)=ab-a-b+1=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)

Tương tự \(bc+a-6=\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

                \(ca+b-6=\left(c-1\right)\left(a-1\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+\frac{1}{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}+\frac{1}{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}\)

            \(=\frac{c-1+a-1+b-1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=\frac{a+b+c-3}{abc-\left(ab+ac+bc\right)+\left(a+b+c\right)-1}\)

             \(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)

sr tui ko có câu hỏi tương tự tui chỉ có câu hỏi y hệt thôi Xem câu hỏi

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(\frac{ab}{2a+b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{2b+a}{9}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{bc}{2b+c}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{2c+b}{9}\)

\(\frac{ca}{2c+a}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{2a+c}{9}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}+\frac{bc}{6+b-a}+\frac{ac}{6+c-b}\)

\(=\frac{ab}{2a+b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{2c+a}\le\frac{3\left(a+b+c\right)}{9}=\frac{6}{3}=2\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=2

Ad bđt : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\) (Cái bđt này c/m dễ : Nhân 2 vế với 2 -> chuyển vế -> tổng bình phương > 0 luôn đúng)

Kết hợp với bđt Cô-si cho 2 số dương ta đc

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\left(\frac{a^3}{b}+ab\right)+\left(\frac{b^3}{c}+bc\right)+\left(\frac{c^3}{a}+ac\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

                                   \(\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}+2\sqrt{\frac{b^3}{c}.bc}+2\sqrt{\frac{c^3}{a}.ac}-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

                                       \(=2a^2+2b^2+2c^2-a^2-b^2-c^2\)

                                        \(=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\left(1\right)\)

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ac\)

\(a^2+1\ge2a\)

\(b^2+1\ge2b\)

\(c^2+1\ge2c\)

Cộng từng vế của 6 bđt trên lại ta đc

\(3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

 \(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+1\right)\ge2.6\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c+ab+bc+ca=6\end{cases}}\)

                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+a+a+aa+aa+aa=6\end{cases}}\)(thay hết b , c thành a)

                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\3a^2+3a=6\end{cases}}\)

                        \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+a-2=0\end{cases}}\)

                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\\left(a-1\right)\left(a+2\right)=0\end{cases}}\)

                          \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)hoặc \(a=b=c=-2\)

Mà a,b,c là các số dương nên a = b = c  = 1

Vậy ............